La logique

La logique est la science qui s'occupe de déterminer dans quelles conditions des opérations de l'esprit conduisent soit à la vérité soit à l'erreur.

La logique peut le plus souvent être qualifiée de "formelle", dans la mesure où ses énoncés sont valables pour toutes les matières dont la pensée peut traiter, et ne s'occupe donc que de la forme des jugements, non de leur contenu.

Le premier grand traité de logique, encore d'actualité, est l'Organon (édité à la fin du XVème siècle), qui regroupe plusieurs écrits d'Aristote (384 - 322 a.c.).

On peut dire que tout qui réfléchit, argumente ou élabore se doit de respecter les règles de la logique. Cela se fait cependant, le plus souvent, de manière inconsciente, car la logique est peu connue dans ses détails.

Passons en revue quelques principes ou opérations fondamentales de la logique, en commençant par les principes de base (qui peuvent sembler évidents).

Le principe d'identité

Le principe d'identité semble aller sans dire.

Pour les objets: tout objet A est l'objet A, et ce qui n'est pas l'objet A ne l'est pas.

Pour les affirmations: si A est vrai, A est vrai. Si A est faux, A est faux.

Des objections ont été faites au principe d'identité. Elles semblent toutes se baser sur le fait qu'aucun objet ni aucune pensée n'est parfaitement définie.

Le principe de non-contradiction

On ne peut déclarer à la fois A ("A est vrai") et non-A ("A est faux").
Si une affirmation est la négation de l'autre, les deux affirmations sont contradictoires.

Il n'est pas rare cependant qu'un discours se contredise.

Le principe du tiers exclu

Une affirmation parfaitement claire est soit vraie soit fausse; il n'y a pas de milieu, pas de "tiers".

Ces trois principes constituaient, dans l'antiquité, la triade de base de la logique.

Incompatibilité

Se dit de deux affirmations qui ne peuvent être toutes deux vraies, mais qui peuvent être toutes deux fausse. Ainsi, notamment, des jeux sur "tous" et "chacun", par exemple:

Tous les marins ont échappé à la noyade
Aucun marin n'a échappé à la noyade

Implication

On dit qu'une idée en implique une autre si cette dernière en résulte nécessairement.

A implique B, c'est-à-dire si A, alors B
exemple:si tel animal est un oiseau, cela implique qu'il ait des ailes

Déduction

La déduction consiste à passer d'une ou plusieurs idées à une autre qui en découle logiquement. En d'autres termes:

Il est clair que la déduction utilisera souvent l'implication.

Syllogisme

Au sens large, on appelle parfois syllogisme tout raisonnement déductif rigoureux
Au sens étroit, le syllogisme se limite à trois propositions, comme le célèbre exemple
tous les hommes sont mortels
or, Socrate est un homme
donc, Socrate est mortel

Comme exposé ICI, ce syllogisme peut être traduit dans le langage des ensembles, en termes d'appartenance et d'inclusion.

D'une manière générale, le syllogisme peut s'exprimer
y est z
or, x est y
donc, x est z

Tout raisonnement ainsi exprimé est valide. Cela ne veut pas dire qu'il aboutit toujours à une conclusion vraie. Ainsi
1. Tous les fruits sont jaunes
2. or, une fraise est un fruit
3. donc une fraise est jaune
aboutit à une conclusion fausse car la prémisse 1 est fausse. La forme du raisonnement est correcte, mais son contenu est faux.

Subtilité de présentation

le raisonnement ci-dessous
1. x est y
2. or, y est z
3. donc x est z
n'est vrai que si 1 et 2 sont vrais

donc le raisonnement ci-dessous
si x est y
et si y est z
alors x est z
est toujours vrai

On entre ici dans les subtilités de la logique. Voir par exemple Robert Blanché, Introduction à la logique contemporaine, éd. A. Colin.

Axiomatique

Lorsque, partant d'un petit nombre d'affirmations (que l'on appelle axiomes), on construit par déduction un ensemble d'afirmations qui en découlent, on obtient ce que l'on appelle un système axiomatique.

Le plus anciennement célèbre est celui des Eléments de géométrie d'Euclide, dont ou trouvera la traduction française littérale numérisée à l'adresse suivante:

http://remacle.org/bloodwolf/erudits/euclide/geometrieintro.htm

Un tel système commence par la définition des objets dont on va traiter, et par l'énoncé des axiomes. Lorsqu'un axiome n'est pas considéré comme une vérité certaine, on préfère l'appeller postulat. En modifiant un postulat, on peut aboutir à d'autres déductions, à un autre système.

 

Après étude de l'ouvrage d'Euclide, les mathématiciens modernes considèrent qu'il est basé sur quatre axiomes (non mis en question à ce jour) et sur un postulat, postulat dont la formulation moderne la plus courante est

par un point extérieur à une droite donnée, ne passe qu'une unique droite qui lui soit parallèle

En remplaçant ce postulat par un autre, on obtient d'autres géométries (dites "non euclidiennes"):

+ la géométrie hyperbolique (notamment Lobatchevsky), dans laquelle, par un point, on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée;
+ la géométrie elliptique (notamment Riemann), dans laquelle on ne peut en tracer aucune.

Voir notamment:

http://www.trigofacile.com/maths/euclide/livre1/postulats/1-post5.htm
http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_non-euclidienne
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./a/axiomeeuclide.html

Constructions abstraites, certes, mais auxquelles il est néanmoins possible de donner des interprétations concrètes.

Induction

Tandis que la déduction semble procéder par voie descendante, allant d'une affirmation vers ses conséquences logiques, l'induction, au contraire, donne l'impression de remonter, en allant par excemple de faits observés vers leurs explications, comme dans une enquête policière.

En logique, l'induction part de propositions dites inductrices, portant sur des cas particuliers, et remonte vers des propositions plus générales, dites induites. Ceci, en utilisant tantôt le raisonnement, tantôt l'intuition.

L'induction est indispensable à la méthode scientifique dans les sciences de la nature, lorsqu'il s'agit, à partir de faits observés, de construire des explications ou des lois que l'on soumettra ensuite à la contradiction, notamment par le biais d'expériences.

Francis Bacon (1561-1626), considéré comme le premier théoricien de la méthode expérimentale, a considérablement insisté sur l'importance de l'induction.

Bacon, contemporain et contradicteur de Descartes...

On peut y voir une modalité de l'opposition - mais aussi de la complémentarité - entre l' "esprit français", enclin au raisonnement et à la spéculation intellectuelle, et l' "esprit anglo-saxon", davantage tourné vers l'expérience, voire le pragmatisme.

Les philosophes et logiciens n'ont pas manqué de modérer et de nuancer l'opposition entre déduction et induction.