Les proportions en formules
Dépassons maintenant l'image géométrique de
la proportionnalité.
Deux grandeurs variables A et B sont dites proportionnelles lorsqu'elles
sont liées par une relation telle que
A = k . B
où k est une grandeur constante, appelée
coefficient de proportionnalité.
Par exemple, si j'achète des tomates, je
paierai une somme proportionnelle au poids acheté, le coefficient
de proportionnalité étant le prix unitaire du kilo
de tomates.
Une telle situation permet de passer aisément
du prix d'un poids donné au prix d'un autre poids, grâce
à la relation
Plus abstraitement, lorsque les nombres a, b, c
et d sont dans la relation
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que l'on peut matérialiser
par un tableau dit "table de proportionnalité" |
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on peut trouver aisément l'un d'eux à
partir des trois autres, comme dans les trois cas ci-dessous.
Règle de trois
Lorsque a est inconnu, on est dans le cas de
la règle de
trois, très utilisée.
Exemple: si d kilos de tomates coûtent
c euros, combien coûteront b kilos?
1) le prix d'un kilo est d fois plus petit que
c, soit c/d
2) le prix de b kilos est b fois plus grand, soit b fois c/d
Quatrième proportionnelle
Lorsque c'est d qui est inconnue, on peut aussi
le trouver aisément:
C'est la quatrième proportionnelle,
qui correspond à la question "si b kilos de tomates
coûtent a euros, combien obtiendrai-je de kilos pour c euros?"
Moyenne proportionnelle
On parle de moyenne
proportionnelle (de a et d) dans le cas particulier où
b = c. Chercher la moyenne proportionnelle de a et d revient donc
à calculer la racine carrée de leur produit.
On parle aussi de moyenne géométrique
de a et d.
Il est clair que la moyenne proportionnelle n'a
de sens que si a, b, c et d sont exprimées dans les mêmes
unités, ce qui n'est pas le cas pour les poids et les coûts
des tomates. Par contre, c'est le cas si tous quatre sont des
longueurs. Exemple: chercher le côté du carré
dont la surface est égale à celle d'un rectangle
de côtés a et d.
Pour les amateurs de géométrie,
voici comment on obtient, avec la règle et le compas,
le carré (bleu) de surface égale à
un rectangle donné (rouge).
Cette méthode utilise
la propriété suivante du triangle rectangle (en
vert): la hauteur (en bleu gras) relative à l'hypothénuse
est la moyenne proportionnelle des deux segments en lesquels
elle partage celle-ci. Or, ces deux segments sont égaux
aux deux côtés du rectangle.
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