Les proportions en formules

Dépassons maintenant l'image géométrique de la proportionnalité.

Deux grandeurs variables A et B sont dites proportionnelles lorsqu'elles sont liées par une relation telle que

A = k . B

où k est une grandeur constante, appelée coefficient de proportionnalité.

Par exemple, si j'achète des tomates, je paierai une somme proportionnelle au poids acheté, le coefficient de proportionnalité étant le prix unitaire du kilo de tomates.

Une telle situation permet de passer aisément du prix d'un poids donné au prix d'un autre poids, grâce à la relation

Plus abstraitement, lorsque les nombres a, b, c et d sont dans la relation

que l'on peut matérialiser par un tableau dit "table de proportionnalité"

on peut trouver aisément l'un d'eux à partir des trois autres, comme dans les trois cas ci-dessous.

Règle de trois

Lorsque a est inconnu, on est dans le cas de la règle de trois, très utilisée.

Exemple: si d kilos de tomates coûtent c euros, combien coûteront b kilos?

1) le prix d'un kilo est d fois plus petit que c, soit c/d
2) le prix de b kilos est b fois plus grand, soit b fois c/d

Quatrième proportionnelle

Lorsque c'est d qui est inconnue, on peut aussi le trouver aisément:

C'est la quatrième proportionnelle, qui correspond à la question "si b kilos de tomates coûtent a euros, combien obtiendrai-je de kilos pour c euros?"

Moyenne proportionnelle

On parle de moyenne proportionnelle (de a et d) dans le cas particulier où b = c. Chercher la moyenne proportionnelle de a et d revient donc à calculer la racine carrée de leur produit.

On parle aussi de moyenne géométrique de a et d.

Il est clair que la moyenne proportionnelle n'a de sens que si a, b, c et d sont exprimées dans les mêmes unités, ce qui n'est pas le cas pour les poids et les coûts des tomates. Par contre, c'est le cas si tous quatre sont des longueurs. Exemple: chercher le côté du carré dont la surface est égale à celle d'un rectangle de côtés a et d.

Pour les amateurs de géométrie, voici comment on obtient, avec la règle et le compas, le carré (bleu) de surface égale à un rectangle donné (rouge).

Cette méthode utilise la propriété suivante du triangle rectangle (en vert): la hauteur (en bleu gras) relative à l'hypothénuse est la moyenne proportionnelle des deux segments en lesquels elle partage celle-ci. Or, ces deux segments sont égaux aux deux côtés du rectangle.