Binomiale, Poisson

Il existe d'autres lois de probabilité que la loi normale.

Loi binomiale

La loi binomiale, elle aussi consacrée au cas de nombres discrets, est en quelque sorte une extension de la loi normale. En effet, la loi normale s'intéresse aux séries de tirages à pile ou face (de probabilité 1/2). La loi binomiale s'intéresse aux séries de tirages de probabilité quelconque.

Si on effectue N tirages pour lesquels la probabilité de réussite est p (par exemple, aux dés, la probabilité d'obtenir le 4 est de 1/6), la probabilité d'obtenir x fois cette réussite est donnée par la formule

où CNx est le nombre de combinaisons sans répétition de N objets x à x, donné par la formule

Cette loi de probabilité est appelée loi binomiale. Voici quelques cas de courbes qui la représentent, pour 20 essais.

Logiquement, plus petite est la probabilité de réussite de chaque tirage, moins probables sont les grands nombres de réussites.
On remarque que pour une probabilité de tirage de 1/2 on retombe sur la loi normale (courbe en Magenta). Celle-ci est donc bien un cas particulier de la loi binomiale.

Loi de Poisson

En examinant les courbes ci-dessus, on remarquera aussi que plus la probabilité de tirage est petite, plus la courbe est asymétrique.

Ces courbes asymétriques peuvent être exprimées mathématiquement par la formule de la loi de Poisson

où le paramètre est le nombre de tirages de probabilité maximale, c'est la valeur moyenne.

Voici six courbes de Poisson, correspondant aux coefficients = 0,5 - 0,8 - 1 - 2 - 3 - 5

Comme on l'a déjà vu plus haut, cette loi convient bien pour les événements de faible probabilité.

On trouvera ICI une application de la loi de Poisson aux accidents de travail. Une bonne approximation de la distribution y a été trouvée à partir de la seule moyenne . Cet exemple permet aussi une comparaison avec la loi binomiale.