Probabilité composée

Deux événements

Nous savons que, lors d'un tirage au hasard parmi N événements également probables, chaque événement a une chance sur N de survenir:

probabilité d'un événement = 1/N

Lorsqu'on s'occupe de deux événements parmi N, il y a deux façons de les combiner.

"Ou"

La probabilité d'obtenir, lors d'un tirage, un événement A ou un événement B est clairement la somme des probabilités attachées aux deux événements.

probabilité de A ou B = probabilité de A + probabilité de B


une chance sur 6	une chance sur 6	deux chances sur 6
p_A = 1/6	p_A = 1/6	p_A + p_B = 1/6 + 1/6 =1/3

"et", première approche

Lors de deux tirages successifs, quelle est la probabilité d'obtenir l'événement A puis l'événement B?

Partons d'un exemple.
On dispose d'un sac contenant 10 boules numérotées de 0 à 9. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 lors d'un premier tirage et 5 lors d'un second? (après avoir replacé dans le sac la première boule tirée)?

On pourrait deviner la réponse, et dire qu'il y a autant de chances de tirer 2 puis 5 que de tirer le nombre 25 dans un sac de 100 boules numérotées de 1 à 100, c'est-à-dire une chance sur 100. Et en conclure que la probabilité de deux événements successifs est le produit des probabilités de ces deux événements. En effet:

1/100 = 1/10 x 1/10

Méthode de raisonnement

Enonçons une méthode qui nous permettra de raisonner sainement lorsque nous sommes confrontés à un problème de probabilité.

Si nous recherchons la probabilité d'un (ou d'une combinaison) d'événement(s)

1) il faut nous situer dans une collection d'événements également probables;

2) compter le nombre total T de cas possibles;

3) compter le nombre N de cas dont nous cherchons la probabilité;

4) la probabilité cherchée est le quotient N/T du second nombre par le premier.

Cette méthode peut être simple ou compliquée à appliquer, mais nous conduira toujours au bon résultat. Exemples simples.

Questions	Réponses
Probabilité d'obtenir "4" lors d'un jet de dé?	nombre de faces: 6 nombre de faces pertinentes: 1 probabilité: 1/6
Probabilité de tirer une boule rouge d'un sac qui en contient 3 rouges et 2 noires?	nombre de boules: 5 nombre de boules pertinentes: 3 probabilité: 3/5

Appliquons cette méthode à notre cas "et" ci-avant: quelle est la probabilité de tirer d'abord un "2" puis (après avoir replacé le 2) un 5?

Nombre de cas possibles. Au premier tirage, il y a 10 cas possibles: 0, 1, ... ,9. Pour chacun de ces dix cas, il y a encore dix cas possibles au second tirage: 0, 1, ... ,9.
Au total, il y a donc 10 fois 10cas = 100 cas possibles.

Nombre de cas pertinents. Un seul cas: le tirage du 2, puis du 5.

Le rapport de ces deux nombres est bien, comme deviné, 1/100, c'est-à-dire le produit des probabilités correspondant aux deux tirages.

"et", approche plus complète

Les cas qui précèdent nous font supposer que le plus difficile sera, souvent, de calculer le nombre total de cas, utilisé comme dénominateur.

On y est aidé par le calcul combinatoire.